Muss ich meine Website ändern, um diese klimabewusster zu machen?

In den meisten Fällen: Definitiv. Aber je nach dem, an welcher Stellschraube man dreht, ist das für manche Änderungen mit großer Wirkung zum einen nicht viel Aufwand und zum anderen für die User nicht optisch merkbar. Beispiele für solche recht starken Maßnahmen sind moderne Bildformate, korrekte Größe der Bilder und Caching im Browser und auf dem Server. Dadurch ändert sich optisch nichts auf den Websites, aber es lässt sich hier schnell ziemlich viel einsparen. Bei bildlastigen, aktuell nicht gut optimierten Websites können allein diese drei Maßnahmen einen guten Teil des CO₂-Fußabdrucks absenken.

Und bei Websites, die aktuell auf einem Hosting mit fossiler Energie laufen, hat der Wechsel zu einem grünen Hosting, der mit überschaubarem Aufwand verbunden ist, eine sehr große Wirkung.